6.4 KB · ⇊ 2 parts · ⤓ Micron 6.4 KB · ⤓ HTML 38.5 KB

top

Unter einem Transferfunktionsmodell wird in der Zeitreihenanalyse ein univariates Zeitreihenmodell verstanden, bei dem die Zielvariable Y t {\displaystyle Y_{t}} außer von sich selbst und einer unbeobachtbaren Schockvariablen Z t {\displaystyle Z_{t}} von weiteren beobachtbaren Variablen X m t {\displaystyle X_{m}t} dynamisch abhängig sein kann. Im Gegensatz zu Vektorprozessen finden nur ein Einfluss der X m t {\displaystyle X_{m}t} auf Y t {\displaystyle Y_{t}} statt und nicht umgekehrt. Ein solches Modell kann auch als univariates dynamisches Modell mit Inputvariablen angesehen werden. Formal lässt sich folgende Darstellung wählen:

Y t = ν ν ( L ) X t + Θ Θ ( L ) Φ Φ ( L ) Z t {\displaystyle Y_{t}=\nu (L)X_{t}+{\frac {\Theta (L)}{\Phi (L)}}Z_{t}}

Dabei ist X t {\displaystyle X_{t}} die Inputvariable. Im Gegensatz zum Interventionsmodell kann diese Inputvariable mehr Ausprägungen haben als die Indikatorfunktion (nur 0 und 1). Y t {\displaystyle Y_{t}} kann dabei als Outputvariable bezeichnet werden. Y t = ν ν ( L ) {\displaystyle Y_{t}=\nu (L)} wird als Transferfunktion bezeichnet. Diese Funktion ist in ihrer Wirkung auf die Zeitreihe mit der Impuls-Antwort-Funktion des Interventionsmodells vergleichbar. Das Transferfunktionsmodell ist stabil, wenn die Impuls-Antwort-Gewichte absolut summierbar sind. Somit würde ein beschränkter Input auch einen beschränkten Output erzeugen. Das Modell heißt kausal, wenn Y t {\displaystyle Y_{t}} keine vorlaufende Funktion von X t {\displaystyle X_{t}} ist. X ist bezüglich Y exogen, und es gibt keine Feedback-Beziehung von Y zu X.

Zur Identifikation des Modells wird auf das Instrument der Kreuzkorrelationsfunktion zurückgegriffen. Diese Funktion ist im Gegensatz zur Autokorrelationsfunktion nicht symmetrisch um l. Die Beziehung zwischen der Kreuzkorrelations- und der Transferfunktion ist recht kompliziert:

ρ ρ ( l ) = σ σ X σ σ Y [ ν ν 0 ρ ρ X ( l ) + ν ν 1 ρ ρ X ( l − − 1 ) + ν ν 2 ρ ρ X ( l − − 2 ) + . . . ] {\displaystyle \rho (l)={\frac {\sigma _{X}}{\sigma _{Y}}}[\nu _{0}\rho _{X}(l)+\nu _{1}\rho _{X}(l-1)+\nu _{2}\rho _{X}(l-2)+...]} .

Das hier zu lösende simultane Gleichungssystem ist recht kompliziert. Einfacher hätte man es, wenn folgender Zusammenhang herstellbar wäre:

ν ν = σ σ Y σ σ X ρ ρ X Y ( l ) {\displaystyle \nu ={\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho _{XY}(l)} .

Damit wäre ν ν l {\displaystyle \nu _{l}} proportional zum Kreuzkorrelationskoeffizienten ρ ρ X Y ( l ) {\displaystyle \rho _{XY}(l)} . Dieses kann erreicht werden, in dem man den Input so transformiert, dass dieser weißes Rauschen wird. Bei der als „Vorweißen“ genannten Transformation wird davon ausgegangen, dass die Inputreihe X t {\displaystyle X_{t}} als ARMA-Prozess aufgefasst wird:

Φ Φ Y ( L ) X t = Θ Θ X ( L ) α α t {\displaystyle \Phi _{Y}(L)X_{t}=\Theta _{X}(L)\alpha _{t}} . Nach umformen ergibt sich die vorgeweißte Inputreihe:

α α t = Φ Φ X ( L ) Θ Θ X ( L ) X t {\displaystyle \alpha _{t}={\frac {\Phi _{X}(L)}{\Theta _{X}(L)}}X_{t}}

Nun muss noch dieselbe Transformation auf die Outputvariable Y t {\displaystyle Y_{t}} angewandt werden:

β β t = Φ Φ X ( L ) Θ Θ X ( L ) Y t {\displaystyle \beta _{t}={\frac {\Phi _{X}(L)}{\Theta _{X}(L)}}Y_{t}} .

Das ursprüngliche Transferfunktionsmodell lässt sich nun als:

β β t = ν ν ( L ) α α t + ε ε t {\displaystyle \beta _{t}=\nu (L)\alpha _{t}+\varepsilon _{t}} auffassen. α α t {\displaystyle \alpha _{t}} ist dabei weißes Rauschen. β β t {\displaystyle \beta _{t}} und ε ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} sind in der Regel kein weißes Rauschen. Für den Kreuzkorrelationskoeffizienten der transformierten Zeitreihe erhält man:

ν ν = σ σ β β σ σ α α ρ ρ α α β β ( l ) {\displaystyle \nu ={\frac {\sigma _{\beta }}{\sigma _{\alpha }}}\rho _{\alpha \beta }(l)} .

Mit diesem Ergebnis kann die Schätzung wie im ARMA-Modell erfolgen.

• Claus Möbus und Willi Nagl: Messung, Analyse und Prognosevon Veränderungen, Multiple Zeitreihenanalyse : Transferfunktionsmodelle Seite 268 ff